Question

1．已知A（2，0），直線4x+3y+1=0被圓C：（x+3）²+（y-m）²=13（m＜3）所截得的弦長為4$\sqrt{3}$，且P為圓C上任意一點．
（1）求|PA|的最大值與最小值；
（2）圓C與坐標軸相交于三點，求以這三個點為頂點的三角形的內切圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）利用直線4x+3y+1=0被圓C：（x+3）²+（y-m）²=13（m＜3）所截得的弦長為4$\sqrt{3}$，求出m，即可求|PA|的最大值與最小值；
（2）求出圓C與坐標軸相交于三點的坐標，再求以這三個點為頂點的三角形的內切圓的半徑．

解答 解：（1）∵直線4x+3y+1=0被圓C：（x+3）²+（y-m）²=13（m＜3）所截得的弦長為4$\sqrt{3}$，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|-12+3m+1|}{5}$=1，
∵m＜3，∴m=2，
∴AC=$\sqrt{29}$，
∴|PA|的最大值與最小值分別為$\sqrt{29}$+$\sqrt{13}$，$\sqrt{29}$-$\sqrt{13}$；
（2）由（1）可得圓的方程：（x+3）²+（y-2）²=13，
令x=0，則y=0或4，令y=0，則x=0或-6，
∴圓C與坐標軸相交于三點M（0，4），O（0，0），B（-6，0），
∴△MON為直角三角形，斜邊|MN|=2$\sqrt{13}$，內切圓的半徑為$\frac{4+6-2\sqrt{13}}{2}$=5-$\sqrt{13}$．

點評 本題考查直線與圓位置關系的運用，考查內切圓半徑的求解，考查學生的計算能力，屬于中檔題．