Question

2．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右焦點(diǎn)為F，橢圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，且|BF|=$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若斜率為1的直線l經(jīng)過點(diǎn)（1，0），與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M，N，在橢圓E上是否存在點(diǎn)P，使得△PMN的面積為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意求得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)及直線l的方程，由△PMN的面積為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$求得點(diǎn)P到直線l的距離為1，再設(shè)出過點(diǎn)P與直線l平行的直線l₁：y=x+m．與橢圓方程聯(lián)立，由判別式等于0求得m值，再結(jié)合兩平行線間的距離公式求出l與l₁之間的距離，與1比較得答案．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{a=|BF|=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，得c=1，∴b²=a²-c²=1．
則橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）存在．
設(shè)點(diǎn)P（x，y），直線l的方程為y=x-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得M（0，-1），N（$\frac{4}{3}，\frac{1}{3}$），
則|MN|=$\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}+1）^{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
則點(diǎn)P到直線l的距離為$\frac{2×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{|MN|}=1$．
設(shè)過點(diǎn)P與直線l平行的直線l₁：y=x+m．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△=16m²-12（2m²-2）=0，解得m=$±\sqrt{3}$．
當(dāng)m=$\sqrt{3}$時(shí)，l與l₁之間的距離為$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$＞1；
當(dāng)m=-$\sqrt{3}$時(shí)，l與l₁之間的距離為$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$＜1．
則在橢圓E上存在點(diǎn)P，使得△PMN的面積為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬中檔題．