Question

19．若雙曲線的一條漸近線方程為y=$\sqrt{2}$x，則其離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$或$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 討論雙曲線的焦點在x或y軸上，求得漸近線方程，可得b=2a或a=2b，由a，b，c的關系和離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：當雙曲線的焦點在x軸上，
由雙曲線的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a，b＞0），
可得漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即有b=$\sqrt{2}$a，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$；
當雙曲線的焦點在y軸上，
由雙曲線的方程$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a，b＞0），
可得漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即有b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$或$\sqrt{3}$；

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意討論焦點的位置，考查漸近線方程與雙曲線的方程的關系，考查運算能力，屬于基礎題．