Question

1．對于函數(shù)f（x），若存在一個區(qū)間A=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，則稱A為f（x）的一個穩(wěn)定區(qū)間，相應的函數(shù)f（x）為“局部穩(wěn)定函數(shù)”，給出下列四個函數(shù)：①f（x）=tan$\frac{π}{4}$x；②f（x）=1-x²；③f（x）=e^x-1；④f（x）=ln（x-1），所有“局部穩(wěn)定函數(shù)”的序號是①②．

Answer 1

分析 根據(jù)“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，我們要想說明函數(shù)存在“穩(wěn)定區(qū)間”，我們只要舉出一個符合定義的區(qū)間M即可，但要說明函數(shù)沒有“穩(wěn)定區(qū)間”，我們可以用反證明法來說明．由此對四個函數(shù)逐一進行判斷，即可得到答案．

解答 解：①對于函數(shù)f（x）=tan$\frac{π}{4}$x存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，
如 x∈[0，1]時，f（x）=tan$\frac{π}{4}$x∈[0，1]，
故①是“局部穩(wěn)定函數(shù)”，
②對于函數(shù)f（x）=1-x²若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，
如 x∈[0，1]時，f（x）=1-x²∈[0，1]，
故②是“局部穩(wěn)定函數(shù)”，
③對于f（x）=e^x-1，若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，
由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有e^a-1=a，且e^b-1=b，即方程e^x-1=x 有兩個解，
即y=e^x-1和 y=x的圖象有兩個交點，
這與y=e^x-1和 y=x的圖象有且只有一個公共點相矛盾，
故③不是“局部穩(wěn)定函數(shù)”，
④對于 f（x）=ln（x-1），若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，
由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有l(wèi)n（a-1）=a，且ln（b-1）=b，即方程ln（x-1）=x 有兩個解，
即y=ln（x-1）和 y=x的圖象有兩個交點，
這與y=ln（x-1）和 y=x的圖象沒有公共點相矛盾，
故④不是“局部穩(wěn)定函數(shù)”，
故答案為：①②

點評 本題以新定義局部穩(wěn)定函數(shù)為載體，考查的知識點是函數(shù)的概念及其構(gòu)造要求，在說明一個函數(shù)沒有“穩(wěn)定區(qū)間”時，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合反證法證明是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題