設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)的取值范圍是.
解析試題分析:(1)確定出函數(shù)的定義域是解決本題的關(guān)鍵,利用導(dǎo)數(shù)作為工具,求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即為的的取值區(qū)間;(2)方法一:利用函數(shù)思想進(jìn)行方程根的判定問題是解決本題的關(guān)鍵.構(gòu)造函數(shù),研究構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)尤其是單調(diào)性,列出該方程有兩個相異的實(shí)根的不等式組,求出實(shí)數(shù)的取值范圍.方法二:先分離變量再構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為工具研究構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)題意列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組進(jìn)行求解.本題將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題,是解決問題的關(guān)鍵.
試題解析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7f/4/irlgm1.png" style="vertical-align:middle;" />, 1分
∵, 2分
∵,則使的的取值范圍為,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 4分
(2)方法1:∵,
∴. 6分
令,
∵,且,
由.
∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增, 9分
故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實(shí)根 12分
即解得:.
綜上所述,的取值范圍是. 14分
方法2:∵,
∴. 6分
即,
令,
∵,且,
由.
∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 9分
∵,,,
又,
故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實(shí)根. 12分
即.
綜上所述,的取值范圍是. 14分
考點(diǎn):函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x2+ (x≠0,a∈R).
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)若f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x2+xsinx+cosx.
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(a,f(a))處與直線y=b相切,求a與b的值;
(2)若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點(diǎn),求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知.
(1)若存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,求證:當(dāng)時,恒成立;
(3)設(shè),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=aln(2x+1)+bx+1.
(1)若函數(shù)y=f(x)在x=1處取得極值,且曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線與直線2x+y-3=0平行,求a的值;
(2)若b=,試討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x,a∈R.
(1)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ax3-x2+cx+d(a,c,d∈R)滿足f(0)=0,f′(1)=0,且f′(x)≥0在R上恒成立.
(1)求a,c,d的值;
(2)若h(x)=x2-bx+-,解不等式f′(x)+h(x)<0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)ex且f(0)=1,f(1)=0.
(1)若f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=0時,是否存在實(shí)數(shù)m使不等式2f(x)+4xex≥mx+1≥-x2+4x+1對任意x∈R恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,請說明理由.
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