Question

3．某區(qū)選派7名隊(duì)員代表本區(qū)參加全市青少年圍棋錦標(biāo)賽，其中3名來自A學(xué)校且1名為女棋手，另外4名來自B學(xué)校且2名為女棋手．從這7名隊(duì)員中隨機(jī)選派4名隊(duì)員參加第一階段的比賽．
（1）求在參加第一階段比賽的隊(duì)員中，恰有1名女棋手的概率；
（2）設(shè)X為選出的4名隊(duì)員中A、B兩校人數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；
（Ⅱ）求出隨機(jī)變量X的所有可能取值，求出相應(yīng)的概率，得到X的分布列，然后求解數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（ I）由題意知，7名隊(duì)員中分為兩部分，3人為女棋手，4人為男棋手，
設(shè)事件A=“恰有1位女棋手”，則$P（A）=\frac{C_3^1C_4^3}{C_7^4}=\frac{12}{35}$，…（4分）
所以參加第一階段的比賽的隊(duì)員中，恰有1位女棋手的概率為$\frac{12}{35}$．…（5分）
（ II）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，2，4．其中$P（{X=0}）=\frac{C_3^2C_4^2}{C_7^4}=\frac{18}{35}$，$P（{X=2}）=\frac{C_3^1C_4^3+C_3^3C_4^1}{C_7^4}=\frac{16}{35}$，$P（{X=4}）=\frac{C_3^0C_4^4}{C_7^4}=\frac{1}{35}$．…（9分）
所以，隨機(jī)變量X分布列為

X	0	2	4
P	$\frac{18}{35}$	$\frac{16}{35}$	$\frac{1}{35}$

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望$E（X）=0×\frac{18}{35}+2×\frac{16}{35}+4×\frac{1}{35}=\frac{36}{35}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．