Question

20．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acost\\ y=2sint\end{array}\right.$（t為參數(shù)，a＞0）以坐標(biāo)原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）設(shè)P是曲線C上的一個動點，當(dāng)a=2時，求點P到直線l的距離的最小值；
（Ⅱ）若曲線C上的所有點均在直線l的右下方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直線的普通方程，設(shè)P（2cost，2sint），則P到直線l的距離$d=\frac{{|{2cost-2sint+4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2\sqrt{2}cos（{t+\frac{π}{4}}）+4}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}+2cos（{t+\frac{π}{4}}）$，即可求點P到直線l的距離的最小值；
（Ⅱ）若曲線C上的所有點均在直線l的右下方，則對?t∈R，有acost-2sint+4＞0恒成立，即$\sqrt{{a^2}+4}cos（{t+φ}）＞-4$（其中$tanφ=\frac{2}{a}$）恒成立，即可求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-2\sqrt{2}$，得$\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{ρcosθ-ρsinθ}）=-2\sqrt{2}$，
化成直角坐標(biāo)方程，得$\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{x-y}）=-2\sqrt{2}$，即直線l的方程為x-y+4=0．
依題意，設(shè)P（2cost，2sint），則P到直線l的距離$d=\frac{{|{2cost-2sint+4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2\sqrt{2}cos（{t+\frac{π}{4}}）+4}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}+2cos（{t+\frac{π}{4}}）$，
當(dāng)$t+\frac{π}{4}=2kπ+π$，即$t=2kπ+\frac{3}{4}π，k∈Z$時，${d_{min}}=2\sqrt{2}-2$．
故點P到直線l的距離的最小值為$2\sqrt{2}-2$．
（Ⅱ）∵曲線C上的所有點均在直線l的右下方，∴對?t∈R，有acost-2sint+4＞0恒成立，
即$\sqrt{{a^2}+4}cos（{t+φ}）＞-4$（其中$tanφ=\frac{2}{a}$）恒成立，∴$\sqrt{{a^2}+4}＜4$，又a＞0，解得$0＜a＜2\sqrt{3}$，
故a的取值范圍為$（{0，2\sqrt{3}}）$．

點評 本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查參數(shù)方程的運用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．