Question

9．已知a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，滿足$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=$\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$，函數(shù)f（x）=sinωx（ω＞0）在區(qū)間[0，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[$\frac{π}{3}$，π]上單調(diào)遞減．
（1）證明：b+c=2a；
（2）若f（$\frac{π}{9}$）=cos A，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知的式子，由正弦定理可得b+c=2a；
（2）根據(jù)題意和正弦函數(shù)的單調(diào)性求出周期，由周期公式求出ω的值，化簡(jiǎn)f（$\frac{π}{9}$）=cos A，求出cos A的值，利用條件和余弦定理列出方程，化簡(jiǎn)后聯(lián)立方程求出a、b、c的關(guān)系，可判斷出△ABC的形狀．

解答 證明：（1）∵$\frac{sinB+sinC}{sinA}=\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA
化簡(jiǎn)得sin（B+A）+sin（C+A）=2sinA，
由A+B+C=π，則sinC+sinB=2sinA，
由正弦定理得，b+c=2a；
解：（2）∵f（x）=sinωx（ω＞0）在[0，$\frac{π}{3}$]上遞增，在[$\frac{π}{3}$，π]上遞減，
∴$\frac{1}{4}T=\frac{π}{3}$，則T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{4π}{3}$，解得ω=$\frac{3}{2}$，
則f（x）=sin$\frac{3}{2}x$，
∴f（$\frac{π}{9}$）=sin（$\frac{3}{2}×\frac{π}{9}$）=sin$\frac{π}{6}$=cos A，則cos A=$\frac{1}{2}$，
又b+c=2a，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
∴a²=（b+c）²-3bc，則a²=bc，
聯(lián)立b+c=2a得，b=c=a，
∴△ABC是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、余弦定理，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的周期公式，以及兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式等，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡(jiǎn)、變形能力．