Question

18．每年的4月23日為世界讀書日，為調(diào)查某高校學(xué)生（學(xué)生很多）的讀書情況，隨機(jī)抽取了男生，女生各20人組成的一個(gè)樣本，對(duì)他們的年閱讀量（單位：本）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，分析得到了男生年閱讀量的頻數(shù)分布表和女生年閱讀量的頻率分布直方圖．
男生年閱讀量的頻數(shù)分布表（年閱讀量均在區(qū)間[0，60]內(nèi)）

本/年	[0，10）	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60]
頻數(shù)	3	1	8	4	2	2

（Ⅰ）根據(jù)女生年閱讀量的頻率分布直方圖估計(jì)該校女生年閱讀量的中位數(shù)；
（Ⅱ）若年不小于40本為閱讀豐富，否則為閱讀不豐富，依據(jù)上述樣本研究年閱讀量與性別的關(guān)系，完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為閱讀豐富與性別有關(guān)；

性別　　　 閱讀量	豐富	不豐富	合計(jì)
男
女
合計(jì)

（Ⅲ）在樣本中，從年閱讀量在[50，60]的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人參加全市的征文比賽，記這2人中男生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．
附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d

P（K2≥k0）	0.025	0.010	0.005
k0	5.024	6.635	7.879

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出前三組頻率之和，即可根據(jù)女生的頻率分布直方圖估計(jì)該校女生年閱讀量的中位數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)得出2×2列聯(lián)表，求出K²，即可判斷是否有99%的把握認(rèn)為月底豐富與性別有關(guān)；
（Ⅲ）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列和期望．

解答 解：（Ⅰ）前三組頻率之和為：0.1+0.2+0.25=0.55，∴中位數(shù)位于第三組，設(shè)中位數(shù)為a，由題可知：$\frac{a-30}{40-a}=\frac{0.2}{0.05}$，解得a=38．∴該校女生年閱讀量的中位數(shù)約為38．
（Ⅱ）

性別    閱讀量	豐富	不豐富	合計(jì)
男	4	16	20
女	9	11	20
合計(jì)	13	27	40

$k=\frac{{40×{{（{4×11-9×16}）}^2}}}{20×20×13×27}$≈2.849＜6.635，∴沒有99%的把握認(rèn)為閱讀豐富與性別有關(guān)．
（Ⅲ）年閱讀量在[50，60]的學(xué)生中，男生2人，女生4人．
由題意得ξ的可能取值為0，1，2.$P（{ξ=0}）=\frac{C_4^2}{C_6^2}=\frac{2}{5}$，$P（{ξ=1}）=\frac{C_2^1C_4^1}{C_6^2}=\frac{8}{15}$，$P（{ξ=2}）=\frac{C_2^2}{C_6^2}=\frac{1}{15}$．
所以的分布列為

ξ	0	1	2
p	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

$Eξ=0×\frac{2}{5}+1×\frac{8}{15}$$+2×\frac{1}{15}=\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖，考查概率的計(jì)算，考查ξ的分布列和期望，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．