Question

如圖：在多面體中，，,
，。

（1）求證：;
(2)求證：；
（3）求二面角的余弦值。

Answer 1

（1）見(jiàn)解析(2) 見(jiàn)解析（3）

本試題主要是考查了線面垂直和線面平行的判定定理的運(yùn)用，以及二面角大小的求解的綜合運(yùn)用。
(1)yw由于所以，
則又，則是解題的關(guān)鍵
(2) 取的中點(diǎn)，連結(jié)
由條件知，，
∴四邊形和為平行四邊形，
∴，，∴，
∴四邊形為平行四邊形，∴
然后得到結(jié)論。
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，然求解平面的法向量的坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)得到夾角的值。
證明：（Ⅰ）由于所以，
則又，則，
所以又，則
（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)
由條件知，，
∴四邊形和為平行四邊形，
∴，，∴，
∴四邊形為平行四邊形，∴
∴平面平面，則平面。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知兩兩垂直，如圖建系，

設(shè)，則，，
，

設(shè)平面的法向量為，則由，得，取，則故，
而平面的法向量為，則
所以二面角為鈍二面角，故二面角的余弦值為