Question

17．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$|，則|$\overrightarrow{a}$|的取值范圍是[$\frac{4}{3}，4$]．

Answer 1

分析 由已知得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=4|\overrightarrow-\overrightarrow{a}{|}^{2}$，從而3|$\overrightarrow{a}$|²-16|$\overrightarrow{a}$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞+16=0，取cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=1，能求出|$\overrightarrow{a}$|的取值范圍．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$|，
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=4|\overrightarrow-\overrightarrow{a}{|}^{2}$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}=4{\overrightarrow{a}}^{2}+4{\overrightarrow}^{2}-8\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}=4{\overrightarrow{a}}^{2}+16-8|\overrightarrow{a}{|•|\overrightarrow|•cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞}^{\;}$，
∴3|$\overrightarrow{a}$|²-16|$\overrightarrow{a}$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞+16=0，
取cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=1，得|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{4}{3}$，或|$\overrightarrow{a}$|=4，
∴|$\overrightarrow{a}$|的取值范圍是[$\frac{4}{3}，4$]．
故答案為：[$\frac{4}{3}$，4]．

點評 本題考查向量的模、向量的數(shù)量積等基礎知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查運算求解能力、推理論證能力，是中檔題．