1.已知數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn
(1)若{an}是公差為d(d>0)的等差數(shù)列,且{$\sqrt{{S}_{n}+n}$}也為公差為d的等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{an}對任意m,n∈N*,且m≠n,都有$\frac{2{S}_{m+n}}{m+n}$=am+an+$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}$,求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

分析 (1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式表示出an與Sn,代入驗(yàn)證即可確定出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令m=2,n=1確定出a1,a2,a3成等差數(shù)列,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明對于一切n≥3的自然數(shù),數(shù)列{an}是等差數(shù)列即可.

解答 解:(1)根據(jù)題意得:an=a1+(n-1)d,Sn=na1+$\frac{n(n-1)}{2}$d,
∴$\sqrt{{S}_{n}+n}$=$\sqrt{n({a}_{1}+\frac{n-1}{2}d+1)}$成等差數(shù)列,公差為d,
∴$\sqrt{{S}_{n}+n}$=dn,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+1-\fracbb7vvzl{2}=0}\\{\sqrt{\fracpdxj55x{2}}=d}\end{array}\right.$,
解得:d=$\frac{1}{2}$,a1=-$\frac{3}{4}$,
則an=$\frac{1}{2}$n-$\frac{5}{4}$;
(2)令m=2,n=1,則$\frac{2{S}_{3}}{3}$=2a2,即$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}{3}$=a2
整理得:a1+a3=2a2,即a1,a2,a3成等差數(shù)列,
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}成等差數(shù)列,
假設(shè)a1,a2,…,ak成等差數(shù)列,其中k≥3,公差為d,
則令m=k,n=1,$\frac{2{S}_{k+1}}{k+1}$=ak+a1+d,
∴2Sk+1=(k+1)(ak+a1+d)=k(ak+a1)+a1+ak+(k+1)d=2Sk+a1+ak+(k+1)d,
∴2ak+1=a1+ak+(k+1)d=2(a1+kd),即ak+1=a1+kd,
∴a1,a2,…,ak,ak+1成等差數(shù)列,
則對于一切自然數(shù),數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

點(diǎn)評 此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),以及等差關(guān)系的確定,熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

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