分析 (Ⅰ)由三角形重心的性質(zhì)可得AG,再由正弦定理求得∠AMG,則答案可求;
(Ⅱ)由正弦定理把MG、NG用含有α的三角函數(shù)表示,代入面積公式可得S1,S2關(guān)于α的函數(shù);
(Ⅲ)把(Ⅱ)中的函數(shù)式代入,化簡(jiǎn)后放縮得答案.
解答 解:(Ⅰ)∵△ABC邊長(zhǎng)為1的正三角形,G為△ABC的重心,
∴$AG=\frac{2}{3}AD$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,在△AMG中,$α=\frac{2π}{3}$,∠MAG=$\frac{π}{6}$,∴$∠AMG=\frac{π}{6}$,
∴MG=AG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$;
(Ⅱ)在△AMG中,∠MAG=$\frac{π}{6}$,∴∠AMG=$\frac{5π}{6}-α$,
由正弦定理可得:$MG=\frac{AG}{sin(\frac{5π}{6}-α)}sin\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6sin(\frac{5π}{6}-α)}$,
在△ANG中,同理可得NG=$\frac{\sqrt{3}}{6sin(α-\frac{π}{6})}$,
∴${S}_{1}=\frac{1}{2}|MG|•|AG|•sinα=\frac{sinα}{12sin(α+\frac{π}{6})}$;
${S}_{2}=\frac{1}{2}|NG|•|AG|•sin(π-α)=\frac{sinα}{12(α-\frac{π}{6})}$.
(Ⅲ)由$\frac{π}{3}$≤α≤$\frac{2π}{3}$,得$\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sinα≤1$,
$y=\frac{1{2}^{2}}{si{n}^{2}α}[si{n}^{2}(α+\frac{π}{6})+si{n}^{2}(α-\frac{π}{6})]$=$144(1+\frac{1}{2si{n}^{2}α})≥144(1+\frac{1}{2})=216$,
當(dāng)且僅當(dāng)$α=\frac{π}{2}$時(shí),y的最小值為216.
點(diǎn)評(píng) 本題考查在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型,考查正弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,是中檔題.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 33 | B. | 30 | C. | 31 | D. | 32 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 8π | B. | 24π | C. | 16π | D. | 32π |
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com