Question

5．某消費(fèi)品專賣店的經(jīng)營(yíng)資料顯示如下：
①這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元；
②該店月銷售量Q（百件）與銷售價(jià)格P（元）滿足的函數(shù)關(guān)系式為Q=$\left\{\begin{array}{l}{k_1}P+{b_1}，14≤P≤20\\{k_2}P+{b_2}，20＜P≤26\end{array}$，點(diǎn)（14，22），（20，10），（26，1）在函數(shù)的圖象上；
③每月需各種開支4400元．
（1）求月銷量Q（百件）與銷售價(jià)格P（元）的函數(shù)關(guān)系；
（2）當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí)，月利潤(rùn)最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）利用帶待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)銷售量Q（百件）與銷售價(jià)格P（元）滿足的函數(shù)關(guān)系式，即可月銷量Q（百件）與銷售價(jià)格P（元）的函數(shù)關(guān)系，
（2）設(shè)該店月利潤(rùn)為L(zhǎng)元，則由題設(shè)得L=Q（P-14）×100-100，得到函數(shù)的解析式，分段求出函數(shù)的最值，比較即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（14，22），（20，10），（26，1）在函數(shù)的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{14{k}_{1}+_{1}=22}\\{20{k}_{1}+_{1}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-2}\\{_{1}=50}\end{array}\right.$．
同理可得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{3}{2}}\\{_{2}=40}\end{array}\right.$，
∴Q=$\left\{\begin{array}{l}{-2P+50，14≤P≤20}\\{-\frac{3}{2}P+40，20＜P≤26}\end{array}\right.$，
（2）設(shè)該店月利潤(rùn)為L(zhǎng)元，則由題設(shè)得L=Q（P-14）×100-100，
由（1）得L=$\left\{\begin{array}{l}{（-2p+50）（P-14）×100-4400，14≤P≤20}\\{（-\frac{3}{2}P+40）（P-14）×100-4400，20＜P≤26}\end{array}\right.$，
=$\left\{\begin{array}{l}{-200{P}^{2}+7800P-74400，14≤P≤20}\\{-150{P}^{2}+6100P-10000，20＜P≤26}\end{array}\right.$，
當(dāng)14≤p≤20時(shí)，Lmax=1650元，此時(shí)P=$\frac{39}{2}$元，
當(dāng)20＜p≤26時(shí)，Lmax=$\frac{4850}{3}$元，此時(shí)P=$\frac{61}{3}$元，
故當(dāng)P=$\frac{39}{2}$時(shí)，月利潤(rùn)最大，為1650元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是即可得到結(jié)論．