Question

5．如圖中的三個直角三角形是一個體積為20cm³的幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的面積（單位：cm²）等于（　　）

• A． 55π
• B． 75π
• C． 77π
• D． 65π

Answer 1

分析 由三視圖可知幾何體為三棱錐，作出其直觀圖三棱錐A-BCD；
由三棱錐的體積求出h的值，把三棱錐還原為長方體，
長方體對角線的長是三棱錐外接球的直徑2R，由此求出外接球的面積．

解答 解：由三視圖可知幾何體為三棱錐，作出其直觀圖三棱錐A-BCD；
由三視圖可知AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BD=5，BC=6，AB=h，
∴三棱錐的體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×5×6h=20，∴h=4；
把三棱錐還原為長方體，如圖所示；
則長方體對角線的長是三棱錐外接球的直徑2R；
∴（2R）²=4²+5²+6²=77，
∴三棱錐外接球的面積為S=4πR²=77π．
故選：C．

點評 本題考查了三棱錐的結構特征以及多面體外接球的面積計算問題，是基礎題．