Question

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，P是△ABC（包括邊界）內(nèi)任一點(diǎn)，則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$的取值范圍是[-9，9]．

Answer 1

分析 以CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，可求得$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$=-4（x-2）+（y-1），令t=-4（x-2）+（y-1），則y=4x+t-7，利用線性規(guī)劃即可求得$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$的取值范圍．

解答 解：以CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則A（4，0）、B（0，2）、D（0，1）、E（2，1），
又P是△ABC（包括邊界）內(nèi)任一點(diǎn)，設(shè)P（x，y），
則$\overrightarrow{AD}$=（-4，1），$\overrightarrow{EP}$=（x-2，y-1），$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$=-4（x-2）+（y-1），
令t=-4（x-2）+（y-1），則y=4x+t-7，
由圖知，當(dāng)直線y=4x+t-7過B（0，2）時(shí)，在y軸的截矩最大，此時(shí)t=2+7=9；
當(dāng)直線y=4x+t-7過A（4，0）時(shí)，在y軸的截矩最小，此時(shí)t=-16+7=-9；
所以，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$的取值范圍是[-9，9]，
故答案為：[-9，9]．

點(diǎn)評 本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，將$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$=-4（x-2）+（y-1），轉(zhuǎn)化為：令t=-4（x-2）+（y-1），即y=4x+t-7，利用線性規(guī)劃解決問題是關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．