Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{1}{2}$sin2x．
（1）求f（x）的最小正周期； 
（2）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．
（3）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（4）求f（x）的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．

Answer 1

分析 （1）化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，求出它的最小正周期；
（2）根據(jù)x的取值范圍，求出f（x）的最大值和最小值；
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；
（4）根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性，求出f（x）的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{1}{2}$sin2x=$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；    …（3分）
（2）∵-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{4}$，所以0≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}$
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，即x=$\frac{π}{12}$時(shí)，f（x）取得最大值為1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=0時(shí)，即x=-$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$；…（6分）
（3）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[{kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}}]（{k∈Z}）$；
同理，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z）；…（10分）
（4）令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z；
∴f（x）的對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z；
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z；
∴f（x）的對(duì)稱中心為（$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$，0）． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換問題，是綜合題．