(1)求函數(shù)φ(x)的反函數(shù)g(x);
(2)對(duì)任意n∈N+,試指出f(n)與g(2n)的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
思路分析:欲比較f(n)與g(2n)的大小,需求出f(n)與g(2n)的關(guān)于n的表達(dá)式,以利于特殊探路——從n=1,2,3,…中尋找、歸納一般性結(jié)論,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解:(1)由y=+1,得=y-1(y≥1),
有x+1=(y-1)2,即x=y2-2y,故g(x)=x2-2x(x≥1).
(2)∵f(n)=(a+b)n-an-bn,g(2n)=4n-2n+1,
當(dāng)n=1時(shí)f(1)=0,g(2)=0,有f(1)=g(2).
當(dāng)n=2時(shí),f(2)=(a+b)2-a2-b2=2ab=8,
g(22)=42-23=8,f(2)=g(22).
當(dāng)n=3時(shí),f(3)=(a+b)3-a3-b3=
>3ab×=48.
g(23)=43-24=48,有f(3)>g(23).
當(dāng)n=4時(shí),f(4)=(a+b)4-a4-b4
=
=4ab(a2+b2)+
>4ab×2ab+
=
g(24)=44-25=224,有f(4)>g(24),由此推測當(dāng)1≤n≤2時(shí),f(n)=g(2n),
當(dāng)n≥3時(shí),f(n)>g(2n).
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(1)當(dāng)n=3時(shí),由上述推測成立;
(2)假設(shè)n=k時(shí),推測成立.即f(k)>g(2k)(k≥3),
即(a+b)k-ak-bk>4k-2k+1,
那么f(k+1)=(a+b)k+1-ak+1-bk+1
=(a+b)·(a+b)k-a·ak-b·bk
=(a+b)[(a+b)k-ak-bk]+akb+abk.
又依題設(shè)a+b>2ab=4.
akb+abk>=2(ab)=2k+2,
有f(k+1)>4[(a+b)k-ak-bk]+2k+2>4(4k-2k+1)+2k+2
=4k+1-2k+2=g(2k+1),
即n=k+1時(shí),推測也成立.
由(1)(2)知n≥3時(shí),f(n)>g(2n)都成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
a |
x+1 |
9 |
2 |
g(x2)-g(x1) |
x2-x1 |
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