Question

8．已知以A（-1，2）點(diǎn)為圓心的圓與直線${l_1}：\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}=0$相切．過(guò)點(diǎn)B（-2，0）的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l₁相交于點(diǎn)P．
（1）求圓A的方程；
（2）當(dāng)$|{MN}|=2\sqrt{19}$時(shí)，求直線l的方程；
（3）$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}$是否是定值，如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）圓與直線${l_1}：\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}=0$相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，可得r，可得圓A的方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，y=k（x+2），Q是MN的中點(diǎn)，當(dāng)$|{MN}|=2\sqrt{19}$時(shí)，QM=$\sqrt{19}$，利用圓心到直線的距離AQ，勾股定理可得K的值，可得直線l的方程．
（3）由直線l過(guò)B（-2，0），可分直線斜率存在和不存在兩種進(jìn)行討論，分別討論$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}$是否是定值．

解答 解：（1）設(shè)圓A的半徑為r，圓與直線${l_1}：\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}=0$相切，可得r=d=$\frac{|-1+4+7|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$
∴圓A的方程為（x+1）²+（y-2）²=20．
（2）當(dāng)斜率k不存在時(shí)，即直線與x軸垂直，可得x=-2，符合題意；
當(dāng)當(dāng)斜率k存在時(shí)，設(shè)出直線l的方程，y=k（x+2），Q是MN的中點(diǎn)，當(dāng)$|{MN}|=2\sqrt{19}$時(shí)，QM=$\sqrt{19}$．
AQ=$\sqrt{20-19}=1$，即圓心到直線y=k（x+2）的距離為1．
可得：$\frac{|k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=$\frac{3}{4}$
∴直線l的方程為x=-2或y=$\frac{3}{4}$（x+2）．
（3）∵AQ⊥BP，
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}$=（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AQ}$）•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}$．
①當(dāng)斜率k不存在時(shí)，即直線與x軸垂直，可得P（-2，-$\frac{5}{2}$），$\overrightarrow{BP}=（0，-\frac{5}{2}）$，又$\overrightarrow{BA}=（1，2）$，
∴$\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}=-5$．
②當(dāng)斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{x+2y+7=0}\end{array}\right.$解得P（$\frac{-4k-7}{1+2k}$，$\frac{-5k}{1+2k}$），則$\overrightarrow{BP}=（\frac{-5}{1+2k}，\frac{-5k}{1+2k}）$，
∴$\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}=\frac{-5}{1+2k}+\frac{-10k}{1+2k}$=-5
綜上所得，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}$是定值，且這個(gè)定值$\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{BP}=-5$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用，直線的一般方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，弦長(zhǎng)問(wèn)題，點(diǎn)到直線的距離公式，斜率的存在性的討論等，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大．屬于中檔偏難．