Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx-x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程f（x）=m（m＜-2）有兩個相異實根x₁，x₂，且x₁＜x₂，證明：x₁•x₂²＜2．

Answer 1

分析 （1）確定函數(shù)的定義域，求導數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明x₂＞2，構(gòu)造g（x）=lnx-x-m，證明g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=lnx-x的定義域為（0，+∞）                              …（1分）
令f′（x）＜0得x＞1，令f′（x）＞0得0＜x＜1
所以函數(shù)f（x）=lnx-x的單調(diào)減區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間（0，1）…（3分）          …（4分）
（2）由（1）可設f（x）=m（m＜-2）有兩個相異實根x₁，x₂，滿足lnx-x-m=0
且0＜x₁＜1，x₂＞1，lnx₁-x₁-m=lnx₂-x₂-m=0                …（5分）
由題意可知lnx₂-x₂=m＜-2＜ln2-2                          …（6分）
又由（1）可知f（x）=lnx-x在（1，+∞）遞減
故x₂＞2                                                      …（7分）
令g（x）=lnx-x-m
g（x₁）-g（$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$）=-x₂+$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$+3lnx₂-ln2                       …（8分）
令h（t）=$-t+\frac{2}{{t}^{2}}$+3lnt-ln2（t＞2），
則h′（t）=-$\frac{（t-2）^{2}（t+1）}{{t}^{3}}$．
當t＞2時，h′（t）＜0，h（t）是減函數(shù)，所以h（t）＜h（2）=2ln2-$\frac{3}{2}$＜0．…（9分）
所以當x₂＞2 時，g（x₁）-g（$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$）＜0，即g（x₁）＜g（$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$）              …（10分）
因為g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
所以x₁＜$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$，故x₁•x₂²＜2．                                         …（11分）
綜上所述：x₁•x₂²＜2                                                …（12分）

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確構(gòu)造函數(shù)是關鍵．