Question

14．已知函數(shù)f（x）=3x-2mx²-3ln（x+1），其中m∈R
（1）若x=1是f（x）的極值點，求m的值；
（2）若0＜m＜$\frac{3}{4}$，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）在[0，+∞）上的最小值是0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，求出m的值即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)m的范圍，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論m的范圍確定函數(shù)的單調(diào)性，從而得到m的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=3x-2mx²-3ln（x+1）的定義域是（-1，+∞），
f′（x）=3-4mx-$\frac{3}{x+1}$，f′（1）=3-4m-$\frac{3}{2}$=0，解得：m=$\frac{3}{8}$；
（2）f′（x）=3-4mx-$\frac{3}{x+1}$=$\frac{-4{mx}^{2}+（3-4m）x}{x+1}$，
∵0＜m＜$\frac{3}{4}$，∴$\frac{3-4m}{4m}$＞0，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{3-4m}{4m}$或x＜0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{3-4m}{4m}$，
故f（x）在（-1，0）遞減，在（0，$\frac{3-4m}{4m}$）遞增，在（$\frac{3-4m}{4m}$，+∞）遞減；
（3）f′（x）=3-4mx-$\frac{3}{x+1}$=$\frac{-4{mx}^{2}+（3-4m）x}{x+1}$，
由（2）得：m＞0時，顯然不合題意，
m=0時，f′（x）=$\frac{3x}{x+1}$，f（x）在[0，+∞）遞增，
f（x）的最小值是f（0）=0，符合題意，
m＜0時，f′（x）＞0，f（x）在[0，+∞）遞增，
f（x）的最小值是f（0）=0，符合題意，
故m≤0．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．