Question

7．記S_n為數(shù)列{a_n}的前項n和，已知a_n＞0，${a_n}^2-2{S_n}=2-{a_n}$（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\frac{3}{{{a_{2n}}{a_{2n+2}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前項n和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用數(shù)列的通項公式與數(shù)列和的關(guān)系式，化簡已知條件，推出數(shù)列是等差數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）化簡${b_n}=\frac{3}{{{a_{2n}}{a_{2n+2}}}}$，利用裂項消項法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（Ⅰ）由${a_n}^2-2{S_n}=2-{a_n}$得${a_{n+1}}^2-2{S_{n+1}}=2-{a_{n+1}}$
相減得${a_{n+1}}^2-{a_n}^2-2（{{S_{n+1}}-{S_n}}）={a_n}-{a_{n+1}}$
即${a_{n+1}}^2-{a_n}^2-（{{a_{n+1}}+{a_n}}）=0$，（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）-（a_n+1+a_n）=0
因為a_n＞0      解得a_n+1-a_n=1（n∈N^*）
故數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且公差d=1    …（4分）
又a₁²-2S₁=2-a₁
解得a₁=2或a₁=-1（舍去）
a_n=n+1              …（6分）
$（Ⅱ）_{n}=\frac{3}{{a}_{2n}{a}_{2n+2}}=\frac{3}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{3}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，

$則{T_n}=\frac{3}{2}[{（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）}]$…（10分）
=$\frac{3}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}}）=\frac{n}{2n+3}$…（12分）

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．