Question

利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）=

x+2

x+1

在（-1，+∞）上是減函數(shù)，并求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義以及分式函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 證明：任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，則      …（1分），
f(x1)-f(x2)=

x1+2

x1+1

-

x2+2

x2+1

=

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

…（4分）
因?yàn)?1＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）…（7分）
所以函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上是減函數(shù)．                …（8分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（-1，+∞）上是減函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在[0，1]上是減函數(shù)．
所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]上的最大值是2，
所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值是

3

2

．    …（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明以及函數(shù)最值的求解，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．