Question

8．設(shè)A_2n=（a₁，a₂，…，a_2n）是由2n個實(shí)數(shù)組成的有序數(shù)組，滿足下列條件：①a_i∈{1，-1}，i=1，2，…，2n；②a₁+a₂+…+a_2n=0；③a₁+a₂+…+a_i≥0，i=1，2，…，2n-1．
（Ⅰ）當(dāng)n=3時，寫出滿足題設(shè)條件的全部A₆；
（Ⅱ）設(shè)n=2k-1，其中k∈N^*，求a₁+a₂+…+a_n的取值集合；
（Ⅲ）給定正整數(shù)n，求A_2n的個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n=3時，直接寫出滿足題設(shè)條件的全部A₆；
（Ⅱ）首先證明a₁=1，且a_2n=-1，考慮A_2n=（1，…，1，-1，…，-1），即a₁=a₂=…=a_n=1，a_n+1=a_n+2=…=a_2n=-1，此時a₁+a₂+…+a_n=n為最大值，注意到n為奇數(shù)，所以a₁+a₂+…+a_n=1為最小值，即可求a₁+a₂+…+a_n的取值集合；
（Ⅲ）給定正整數(shù)n，顯然，從a₁，a₂，…，a_2n中選n個+1，其余為-1的種數(shù)共有$C_{2n}^n$種．下面我們考慮這樣的數(shù)組中有多少個不滿足條件③，即可求A_2n的個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）A₆=（1，1，1，-1，-1，-1），A₆=（1，1，-1，1，-1，-1），A₆=（1，1，-1，-1，1，-1），A₆=（1，-1，1，1，-1，-1），A₆=（1，-1，1，-1，1，-1），共5個． …（3分）
（Ⅱ）首先證明a₁=1，且a_2n=-1．
在③中，令i=1，得a₁≥0．由①得a₁=1．
由②得a_2n=-（a₁+a₂+…+a_2n-1）．
在③中，令i=2n-1，得a₁+a₂+…+a_2n-1≥0，
從而a_2n=-（a₁+a₂+…+a_2n-1）≤0．由①得a_2n=-1．
考慮A_2n=（1，…，1，-1，…，-1），即a₁=a₂=…=a_n=1，a_n+1=a_n+2=…=a_2n=-1，此時a₁+a₂+…+a_n=n為最大值．
現(xiàn)交換a_n與a_n+1，使得a_n=-1，a_n+1=1，此時a₁+a₂+…+a_n=n-2．
現(xiàn)將a_n=-1逐項(xiàng)前移，直至a₂=-1．在前移過程中，顯然a₁+a₂+…+a_n=n-2不變，這一過程稱為1次移位．
繼續(xù)交換a_n與a_n+2，使得a_n=-1，a_n+2=1，此時a₁+a₂+…+a_n=n-4．
現(xiàn)將a_n=-1逐項(xiàng)前移，直至a₄=-1．在前移過程中，顯然a₁+a₂+…+a_n=n-4不變，執(zhí)行第2次移位．
依此類推，每次移位a₁+a₂+…+a_n的值依次遞減2．經(jīng)過有限次移位，a₁，a₂，…，a_n一定可以調(diào)整為1，-1交替出現(xiàn)．
注意到n為奇數(shù)，所以a₁+a₂+…+a_n=1為最小值．
所以，a₁+a₂+…+a_n的取值集合為{1，3，5，…，2k-1}．    …（8分）
（Ⅲ）由①、②可知，有序數(shù)組（a₁，a₂，…，a_2n）中，有n個+1，n個-1．
顯然，從a₁，a₂，…，a_2n中選n個+1，其余為-1的種數(shù)共有$C_{2n}^n$種．下面我們考慮這樣的數(shù)組中有多少個不滿足條件③，記該數(shù)為t_n．
如果（a₁，a₂，…，a_2n）不滿足條件③，則一定存在最小的正整數(shù)s（s≤n），使得
（�。゛₁+a₂+…+a_2s-2=0；   （ⅱ）a_2s-1=-1．
將a₁，a₂，…，a_2s-1統(tǒng)統(tǒng)改變符號，
這一對應(yīng)f為：（a₁，a₂，…，a_2s-1，a_2s，…，a_2n）→（-a₁，-a₂，…，-a_2s-1，a_2s，…，a_2n），
從而將（a₁，a₂，…，a_2n）變?yōu)閚+1個+1，n-1個-1組成的有序數(shù)組．
反之，任何一個n+1個+1，n-1個-1組成的有序數(shù)組（a₁，a₂，…，a_2n）．由于+1多于-1的個數(shù)，所以一定存在最小的正整數(shù)s（s≤n），使得a₁+a₂+…+a_2s-1=1．
令對應(yīng)f^-1為：（a₁，a₂，…，a_2s-1，a_2s，…，a_2n）→（-a₁，-a₂，…，-a_2s-1，a_2s，…，a_2n），
從而將（a₁，a₂，…，a_2n）變?yōu)閚-1個+1，n+1個-1組成的有序數(shù)組．
因此，t_n就是n+1個+1，n-1個-1組成的有序數(shù)組的個數(shù)．
所以A_2n的個數(shù)是$C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}=\frac{1}{n+1}C_{2n}^n$．                       …（13分）

點(diǎn)評 本題考查推理與證明，考查集合思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．