Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}cos（{2x-φ}）\;\;（{0＜φ＜π}）$，其圖象過(guò)點(diǎn)$（{\frac{π}{6}，\frac{1}{2}}）$．
（1）求φ值；
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）在x∈$[{0，\frac{π}{4}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知可求$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}cos（{2×\frac{π}{6}-φ}）$，結(jié)合范圍0＜φ＜π，即可得解φ的值；
（2）由（1）利用三角函數(shù)平移變換的規(guī)律可求$y=g（x）=\frac{1}{2}cos（{4x-\frac{π}{3}}）$，由$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$，利用余弦函數(shù)的圖象可求其值域．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}cos（{2x-φ}）$，且函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)$（{\frac{π}{6}，\frac{1}{2}}）$，
∴$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}cos（{2×\frac{π}{6}-φ}）$，即$cos（{\frac{π}{3}-φ}）=1$，解得$φ=\frac{π}{3}+2kπ，k∈{z}$．
又0＜φ＜π，
∴$φ=\frac{π}{3}$．
（2）由（1）知$f（x）=\frac{1}{2}cos（{2x-\frac{π}{3}}）$，
將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$，
縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)$y=g（x）=\frac{1}{2}cos（{4x-\frac{π}{3}}）$的圖象．
∵$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$，
∴$4x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，
故$-\frac{1}{2}≤cos（{4x-\frac{π}{3}}）≤1$．
∴y=g（x）在$[{0，\frac{π}{4}}]$上的最大值和最小值分別為$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)平移變換的規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．