10.設(shè)平面上向量$\overrightarrow a=(cosα,sinα)(0≤α<2π),\overrightarrow b=(-\frac{1}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2}),\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$不共線,
(1)證明向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直;
(2)當(dāng)兩個(gè)向量$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$的模相等,求角α.

分析 (1)利用兩個(gè)向量的坐標(biāo)形式的運(yùn)算,兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,求得($\overrightarrow a+\overrightarrow b$)•($\overrightarrow a-\overrightarrow b$)=0,即量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直.
(2)由已知得($\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$)2=($\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$)2,
⇒$3{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=${\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow}^{2}-2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow$,即$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα=sin(α-\frac{π}{6})=0$.可求得α

解答 解:(1)證明:∵向量$\overrightarrow a=(cosα,sinα)(0≤α<2π),\overrightarrow b=(-\frac{1}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2}),\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$不共線.
∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1,則得($\overrightarrow a+\overrightarrow b$)•($\overrightarrow a-\overrightarrow b$)=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}={1}^{2}-{1}^{2}=0$,
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直.
(2)∵向量$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$的模相等,
∴($\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$)2=($\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$)2,
⇒$3{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=${\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow}^{2}-2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow$,
∵${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow}^{2}$,∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα=sin(α-\frac{π}{6})=0$.
∵α∈[0,2π),∴$α=\frac{π}{6}$或$α=\frac{7π}{6}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}cos({2x-φ})\;\;({0<φ<π})$,其圖象過點(diǎn)$({\frac{π}{6},\frac{1}{2}})$.
(1)求φ值;
(2)將函數(shù)y=f(x)圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求y=g(x)在x∈$[{0,\frac{π}{4}}]$上的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

1.已知α∈($\frac{π}{2}$,π),sin(-π-α)=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$,則sin(α-$\frac{3π}{2}$)=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)面PAD是正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求證:AB⊥平面PAD;
(2)求直線PC與底面ABCD所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.如圖是某年青年歌手大獎(jiǎng)賽中,七位評(píng)委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字09中的一個(gè)).去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1,a2,則一定有( 。
A.a1>a2B.a1<a2
C.a1=a2D.a1,a2的大小與m的值有關(guān)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|ax-5|(0<a<5).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥9的解集;
(2)如果函數(shù)y=f(x)的最小值為4,求實(shí)數(shù)a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

2.已知函數(shù)f(x)=|lnx|,a>b>0,f(a)=f(b),則$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$的最小值等于2$\sqrt{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.某小區(qū)現(xiàn)有住房的面積為a平方米,在改造過程中政府決定每年拆除b平方米舊住房,同時(shí)按當(dāng)?shù)曜》棵娣e的10%建設(shè)新住房,則n年后該小區(qū)的住房面積為(  )
A.a•1.1n-nbB.a•1.1n-10b(1.1n-1)
C.n(1.1a-1)D.(a-b)1.1n

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.將自然數(shù)0,1,2,…按照如下形式進(jìn)行擺列:

根據(jù)以上規(guī)律判定,從2016到2018的箭頭方向是( 。
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案