Question

15．設(shè)f（x）=x³+bx²+cx+d，又k是一個(gè)常數(shù)，已知k＜0或k＞4時(shí)，f（x）-k=0只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)0＜k＜4時(shí)，f（x）-k=0有三個(gè)相異實(shí)根，給出下列命題：
①f（x）-4=0和f'（x）=0有一個(gè)相同的實(shí)根；
②f（x）=0和f'（x）=0有一個(gè)相同的實(shí)根；
③f（x）+3=0的任一實(shí)根大于f（x）-1=0的任一實(shí)根；
④f（x）+5=0的任一實(shí)根小于于f（x）-2=0的任一實(shí)根；
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 由已知中f（x）=x³+bx²+cx+d，當(dāng)k＜0或k＞4時(shí)，f（x）-k=0只有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)0＜k＜4時(shí)，f（x）-k=0有三個(gè)相異實(shí)根，故函數(shù)即為極大值，又有極小值，且極大值為4，極小值為0，分析出函數(shù)簡單的圖象和性質(zhì)后，逐一分析四個(gè)結(jié)論的正誤，即可得到答案．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
當(dāng)k＜0或k＞4時(shí)，f（x）-k=0只有一個(gè)實(shí)根；
當(dāng)0＜k＜4時(shí)，f（x）-k=0有三個(gè)相異實(shí)根，
故函數(shù)即有極大值，又有極小值，且極大值為4，極小值為0
故f（x）-4=0與f'（x）=0有一個(gè)相同的實(shí)根，即極大值點(diǎn)，故（1）正確；
f（x）=0與f'（x）=0有一個(gè)相同的實(shí)根，即極小值點(diǎn)，故（2）正確；
f（x）+3=0有一實(shí)根且小于函數(shù)最小的零點(diǎn)，f（x）-1=0有三個(gè)實(shí)根均大于函數(shù)最小的零點(diǎn)，故（3）錯(cuò)誤；
f（x）+5=0有一實(shí)根且小于函數(shù)最小的零點(diǎn)，f（x）-2=0有三個(gè)實(shí)根均大于函數(shù)最小的零點(diǎn)，故（4）正確；
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)與方程的思想，把零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問題，屬于中檔題．