設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,滿足且構(gòu)成等比數(shù)列.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅲ)證明:對一切正整數(shù),有.
(Ⅰ)詳見試題分析;(Ⅱ)數(shù)列的通項公式為;(Ⅲ)詳見試題分析.
解析試題分析:(Ⅰ)由已知條件,只要令,即可證得結(jié)論;(Ⅱ)由已知條件,列出,與已知式作差,得,分解因式,并注意到,可得,從而數(shù)列是等差數(shù)列,再結(jié)合已知條件:構(gòu)成等比數(shù)列,列出關(guān)于首項的方程,解這個方程,即可得首項的值,最終可以求得數(shù)列的通項公式;(Ⅲ)在(Ⅱ)的基礎(chǔ)上,可得的表達(dá)式:,根據(jù)的結(jié)構(gòu)特征,可以利用裂項相消法求的和,最終證得結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)當(dāng)時,, 2分
(Ⅱ)當(dāng)時,,,,,當(dāng)時,是公差的等差數(shù)列. 5分
構(gòu)成等比數(shù)列,,,解得, 6分
由(Ⅰ)可知,. 是首項,公差的等差數(shù)列. 7分
數(shù)列的通項公式為. 8分
(Ⅲ) 9分
12分
考點:1.?dāng)?shù)列的前項和;2.?dāng)?shù)列通項公式的求法;3.?dāng)?shù)列與不等式的綜合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的前項和為,數(shù)列滿足().
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)求的值.
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已知數(shù)列的前項和為,且滿足;
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)若,且的前n項和為,求使得對都成立的所有正整數(shù)k的值.
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(本小題滿分13分)在等差數(shù)列中,,其前項和為,等比數(shù)列 的各項均為正數(shù),,公比為,且,.
(1)求與;
(2)設(shè)數(shù)列滿足,求的前項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列{an}的前n項和,且的最大值為4.
(1)確定常數(shù)k的值,并求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)令,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,試比較Tn與的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
數(shù)列中,,,
(1)若數(shù)列為公差為11的等差數(shù)列,求
(2)若數(shù)列為以為首項的等比數(shù)列,求數(shù)列的前m項和
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