Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=1，$AB=\frac{1}{2}$，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．
（1）求直線BE與AD所成角的大小；
（2）證明：BE⊥DC．

Answer 1

分析 （1）取PD中點(diǎn)M，連結(jié)EM，AM．推導(dǎo)出四邊形ABEM為平行四邊形，從而BE∥AM，進(jìn)而∠MAD為異面直線BE與AD所成角（或補(bǔ)角），由此能求出異面直線BE與AD所成角．
（2）推導(dǎo)出PA⊥CD，CD⊥DA，從而CD⊥平面PAD，進(jìn)而CD⊥AM，再由BE∥AM，能證明BE⊥CD．

解答 解：（1）如圖，取PD中點(diǎn)M，連結(jié)EM，AM．
由于E，M分別為PC、PD的中點(diǎn)，故$EM\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}DC$；
又$AB\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}DC，EM\underline{\underline{∥}}AB$，
∴四邊形ABEM為平行四邊形，∴BE∥AM．
∴∠MAD為異面直線BE與AD所成角（或補(bǔ)角），
在Rt△PAD中，∵AD=DC=AP=1，∴∠MAD=45°，
∴異面直線BE與AD所成角為45°．…（6分）
證明：（2）∵PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，
而CD⊥DA，CD∩DA=D，∴CD⊥平面PAD，
∵AM?平面PAD，∴CD⊥AM，
又由（1）得BE∥AM，
∴BE⊥CD．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．