Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得“對(duì)任意恒成立”？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）存在；實(shí)數(shù)的取值范圍是

【解析】

對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),分和兩種情況分別利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可;

假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得“恒成立”，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),分和兩種情況判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并判斷函數(shù)在上的最小值是否為非負(fù).

（1）由題意知,，

則，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令，得，

所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得“恒成立”，

因?yàn)楹瘮?shù)，所以，

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立,

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，有恒成立；

當(dāng)，即時(shí)，令，得，

解得（其中），

所以，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

又，所以當(dāng)不符合題意，

綜上可知，存在實(shí)數(shù)使得“對(duì)任意恒成立”，

符合題意的實(shí)數(shù)的取值范圍為.