Question

11．設(shè)函數(shù)$f（x）=x-\frac{1}{x}$，對(duì)任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （　　）

• A． m＜-1或0＜m＜1
• B． 0＜m＜1
• C． m＜-1
• D． -1＜m＜0

Answer 1

分析 顯然m≠0，分當(dāng)m＞0與當(dāng)m＜0兩種情況進(jìn)行討論，并進(jìn)行變量分離即可得出答案．

解答 解：由f（mx）+mf（x）＜0得mx-$\frac{1}{mx}$+mx-$\frac{m}{x}$＜0，
整理得：2mx＜（m+$\frac{1}{m}$）$\frac{1}{x}$，即2mx²＜m+$\frac{1}{m}$恒成立．
①當(dāng)m＞0時(shí)，2x²＜1+$\frac{1}{{m}^{2}}$，因?yàn)閥=2x²在x∈[1，+∞）上無最大值，因此此時(shí)不合題意；
②當(dāng)m＜0時(shí)，2x²＞1+$\frac{1}{{m}^{2}}$，因?yàn)閥=2x²在x∈[1，+∞）上的最小值為2，
所以1+$\frac{1}{{m}^{2}}$＜2，即m²＞1，解得m＜-1或m＞1（舍去）．
綜合可得：m＜-1．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了恒成立問題的基本解法及分類討論思想，屬于難題，解決恒成立問題通�？梢岳�用分離變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解．