Question

19．已知函數(shù)F（x）=xf（x），f（x）滿足f（x）=f（-x），且當x∈（-∞，0]時，F(xiàn)'（x）＜0成立，若$a={2^{0.1}}•f（{{2^{0.1}}}），b=ln2•f（{ln2}），c={log_2}\frac{1}{8}•f（{{{log}_2}\frac{1}{8}}）$，則a，b，c的大小關(guān)系是（　�。�

• A． a＞b＞c
• B． c＞a＞b
• C． c＞b＞a
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 f（x）=f（-x），函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，可得函數(shù)F（x）=xf（x）是奇函數(shù)．由當x∈（-∞，0]時，F(xiàn)'（x）＜0成立，可得函數(shù)F（x）在x∈（-∞，0]時單調(diào)遞減，因此函數(shù)F（x）在x∈R上單調(diào)遞減．

解答 解：∵f（x）=f（-x），函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴函數(shù)F（x）=xf（x）是奇函數(shù)．
∵當x∈（-∞，0]時，F(xiàn)'（x）＜0成立，∴函數(shù)F（x）在x∈（-∞，0]時單調(diào)遞減，
因此函數(shù)F（x）在x∈R上單調(diào)遞減．
∵2^0.1＞1，ln2∈（0，1），$lo{g}_{2}\frac{1}{8}$＜0，$a={2^{0.1}}•f（{{2^{0.1}}}），b=ln2•f（{ln2}），c={log_2}\frac{1}{8}•f（{{{log}_2}\frac{1}{8}}）$，
∴a＜b＜c．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．