Question

15．同時(shí)具有性質(zhì)：“①最小正周期是π；②圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{3}$對(duì)稱；③在$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上是增函數(shù)．”的一個(gè)函數(shù)為（　　）

• A． $y=sin（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）$
• B． $y=cos（{\frac{x}{2}-\frac{π}{6}}）$
• C． $y=cos（{2x+\frac{π}{6}}）$
• D． $y=sin（{2x-\frac{π}{6}}）$

Answer 1

分析 利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：由于y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的最小正周期為$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，不滿足①，故排除A．
由于y=cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）的最小正周期為$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，不滿足①，故排除B．
由于y=cos（2x+$\frac{π}{6}$），在$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
故y=cos（2x+$\frac{π}{6}$）在$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上沒(méi)有單調(diào)性，故排除C．
對(duì)于y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π；
當(dāng)$x=\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)取得最大值為1，故圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{3}$對(duì)稱；
在$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，故y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）在$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上是增函數(shù)，
故D滿足題中的三個(gè)條件，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．