Question

19．如圖，直線x+2y=a與圓x²+y²=1相交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=a，則實(shí)數(shù)a的值為（　　）

• A． $\frac{5-\sqrt{65}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{65}-5}{4}$
• C． $\frac{5-\sqrt{55}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{55}-5}{4}$

Answer 1

分析 分別利用勾股定理和距離公式求出O到直線AB的距離，列方程解出a即可．

解答 解：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=cos∠AOB=a，
∴AB=$\sqrt{1+1-2cos∠AOB}$=$\sqrt{2-2a}$，
∴O到直線AB的距離d=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2-2a}}{2}）^{2}}$，
又d=$\frac{|a|}{\sqrt{5}}$，
∴$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2-2a}}{2}）^{2}}$=$\frac{|a|}{\sqrt{5}}$，解得a=$\frac{5-\sqrt{65}}{4}$或a=$\frac{5+\sqrt{65}}{4}$＞1（舍）．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．