【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且|QF|= |PQ|. (Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)過F的直線l與C相交于A、B兩點,若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點,且A、M、B、N四點在同一圓上,求l的方程.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x0,4),把點Q的坐標(biāo)代入拋物線C:y2=2px(p>0),
可得x0= ,∵點P(0,4),∴|PQ|= .
又|QF|=x0+ = + ,|QF|= |PQ|,
∴ + = × ,求得 p=2,或 p=﹣2(舍去).
故C的方程為 y2=4x.
(Ⅱ)由題意可得,直線l和坐標(biāo)軸不垂直,y2=4x的焦點F(1,0),
設(shè)l的方程為 x=my+1(m≠0),
代入拋物線方程可得y2﹣4my﹣4=0,顯然判別式△=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1y2=﹣4.
∴AB的中點坐標(biāo)為D(2m2+1,2m),弦長|AB|= |y1﹣y2|= =4(m2+1).
又直線l′的斜率為﹣m,∴直線l′的方程為 x=﹣ y+2m2+3.
過F的直線l與C相交于A、B兩點,若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點,
把線l′的方程代入拋物線方程可得 y2+ y﹣4(2m2+3)=0,∴y3+y4= ,y3y4=﹣4(2m2+3).
故線段MN的中點E的坐標(biāo)為( +2m2+3, ),∴|MN|= |y3﹣y4|= ,
∵MN垂直平分線段AB,故AMBN四點共圓等價于|AE|=|BE|= |MN|,
∴ +DE2= MN2,
∴4(m21)2 + + = × ,化簡可得 m2﹣1=0,
∴m=±1,∴直線l的方程為 x﹣y﹣1=0,或 x+y﹣1=0
【解析】(Ⅰ)設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x0,4),把點Q的坐標(biāo)代入拋物線C的方程,求得x0= ,根據(jù)|QF|= |PQ|求得 p的值,可得C的方程.(Ⅱ)設(shè)l的方程為 x=my+1 (m≠0),代入拋物線方程化簡,利用韋達定理、中點公式、弦長公式求得弦長|AB|.把直線l′的方程代入拋物線方程化簡,利用韋達定理、弦長公式求得|MN|.由于MN垂直平分線段AB,故AMBN四點共圓等價于|AE|=|BE|= |MN|,由此求得m的值,可得直線l的方程.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了穩(wěn)定市場,確保農(nóng)民增收,某農(nóng)產(chǎn)品7個月份的每月市場收購價格與其前三個月的市場收購價格有關(guān),并使其與前三個月的市場收購價格之差的平方和最小,下表列出的是該產(chǎn)品今年前6個月的市場收購價格,則前7個月該產(chǎn)品的市場收購價格的方差為( )
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
價格(元/擔(dān)) | 68 | 78 | 67 | 71 | 72 | 70 |
A.
B.
C.11
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,在直角梯形 中, , , , , , .將 沿 折起,使得點 在平面 的正投影 恰好落在 邊上,得到幾何體 ,如圖2所示.
(1)求證: ;
(2)求點 到平面 的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中正確的是( )
A.經(jīng)過點P0(x0 , y0)的直線都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
B.經(jīng)過定點A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示
C.經(jīng)過任意兩個不同點P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)的直線都可用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示
D.不經(jīng)過原點的直線都可以用方程 表示
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的箱子里裝有5個完全相同的小球,球上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5.甲先從箱子中摸出一個小球,記下球上所標(biāo)數(shù)字后,將該小球放回箱子中搖勻后,乙再從該箱子中摸出一個小球.
(1)若甲、乙兩人誰摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰就獲勝(數(shù)字相同為平局),求甲獲勝的概率;
(2)規(guī)定:兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字之和小于6,則甲獲勝,否則乙獲勝,這樣規(guī)定公平嗎?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 是圓柱的母線, 是 的直徑, 是底面圓周上異于 的任意一點, , .
(1)求證:
(2)當(dāng)三棱錐 的體積最大時,求 與平面 所成角的大。
(3) 上是否存在一點 ,使二面角 的平面角為45°?若存在,求出此時 的長;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知指數(shù)函數(shù)y=f(x)、對數(shù)函數(shù)y=g(x)和冪函數(shù)y=h(x)的圖象都經(jīng)過點P( ),如果f(x1)=g(x2)=h(x3)=4,那么x1+x2+x3=( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題P:方程 表示雙曲線,命題q:點(2,a)在圓x2+(y﹣1)2=8的內(nèi)部.若pΛq為假命題,q也為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.
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