Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)于任意正整數(shù)m、n及正常數(shù)q，當(dāng)時(shí)，恒成立，若存在常數(shù)，使得為等差數(shù)列，則常數(shù)c的值為______

Answer 1

【答案】

【解析】

可令m＝n﹣1，結(jié)合數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，討論q是否為1，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得所求結(jié)論．

解：因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，m，

當(dāng)n＞m時(shí)，Sn﹣Sm＝qmSn﹣m總成立，

所以n≥2時(shí)，令m＝n﹣1，得到Sn﹣Sn﹣1＝qn﹣1S1，即an＝a1qn﹣1＝qn﹣1，

當(dāng)n＝1時(shí)，也成立，

所以an＝qn﹣1，

當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝n，q≠1時(shí)，Sn，

{lg（c﹣Sn）}為等差數(shù)列，可得q≠1，

lg（c）＝lgnlgq﹣lg（1﹣q）為等差數(shù)列，

即有c（0＜q＜1），

故答案為：c（0＜q＜1）．