Question

12．（1）在數(shù)列{a_n}中，S_n是其前n項(xiàng)和，已知S_n=2n²-3n+2；求通項(xiàng)a_n．
（2）已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+3，n∈N^*，求通項(xiàng)a_n．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求出首項(xiàng)，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出a_n，已知首項(xiàng)后得答案；
（2）由已知數(shù)列遞推式構(gòu)造等比數(shù)列{a_n+3}，求其通項(xiàng)公式，進(jìn)一步得到通項(xiàng)a_n．

解答 解：（1）由S_n=2n²-3n+2，得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n²-3n+2-[2（n-1）²-3（n-1）+2]=4n-5．
驗(yàn)證n=1時(shí)上式不成立．
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1（n=1）\\ 4n-5（n≥2）\end{array}\right.$；
（2）由a_n+1=2a_n+3，得（a_n+1+3）=2（a_n+3），
又a₁+3=4≠0，
∴$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}+3}=2$，則數(shù)列{a_n+3}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n}+3=4×{2}^{n-1}={2}^{n+1}$，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了“構(gòu)造法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．