Question

7．已知$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$是三個單位向量，且$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$=$\overrightarrow c$•$\overrightarrow b$＞0，則對于任意的正實數(shù)t，|${\overrightarrow c$-t$\overrightarrow a$-$\frac{1}{t}$$\overrightarrow b}$|的最小值為$\frac{1}{2}$，則$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\frac{1}{8}$或-$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow c$與$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為α，$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$間的夾角為2α，則$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$=$\overrightarrow c$•$\overrightarrow b$=1×1×cosα＞0，$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=cos2α．將|${\overrightarrow c$-t$\overrightarrow a$-$\frac{1}{t}$$\overrightarrow b}$|兩邊平方，化簡整理，設(shè)t+$\frac{1}{t}$=m（m≥2），化為m的二次函數(shù)，由最值求法，可得最小值，結(jié)合二倍角的余弦公式，即可得到所求向量的數(shù)量積．

解答 解：由$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$是三個單位向量，且$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$=$\overrightarrow c$•$\overrightarrow b$＞0，
設(shè)$\overrightarrow c$與$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為α，$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$間的夾角為2α，
則$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$=$\overrightarrow c$•$\overrightarrow b$=1×1×cosα＞0，$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=cos2α．
|${\overrightarrow c$-t$\overrightarrow a$-$\frac{1}{t}$$\overrightarrow b}$|²=$\overrightarrow{c}$²+t²$\overrightarrow{a}$²+$\frac{1}{{t}^{2}}$$\overrightarrow$²-2t$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$-$\frac{2}{t}$$\overrightarrow c$•$\overrightarrow b$+2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$
=1+t²+$\frac{1}{{t}^{2}}$-2（t+$\frac{1}{t}$）cosα+2cos2α．
設(shè)t+$\frac{1}{t}$=m（m≥2），則|${\overrightarrow c$-t$\overrightarrow a$-$\frac{1}{t}$$\overrightarrow b}$|²=m²-2mcosα+2cos2α-1
=（m-cosα）²+2cos2α-1-cos²α
由m≥2，0＜cosα≤1，
故當(dāng)m=2，即t=1時，取得最小值（2-cosα）²+2cos2α-1-cos²α，
由題意可得（2-cosα）²+2cos2α-1-cos²α=$\frac{1}{4}$，
即為4cos²α-4cosα+1=$\frac{1}{4}$，
解得cosα=$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$．
即有$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=cos2α=2cos²α-1=$\frac{1}{8}$或-$\frac{7}{8}$．
故答案為：$\frac{1}{8}$或-$\frac{7}{8}$．

點評 本題考查向量數(shù)量積的運算，注意運用平方法和向量的平方即為向量的模，同時考查三角函數(shù)的變換公式，考查運算求解能力，屬于中檔題．