20.已知F為拋物線C:y2=5x的焦點,點A(3,1),M是拋物線C上的動點,當|MA|+|MF|取最小值$\frac{17}{4}$時,
點M的坐標為($\frac{1}{5}$,1).

分析 根據(jù)拋物線的定義,將|MA|+|MF|轉化成|MA|+|PM|.由平面幾何知識,可得當P、A、M三點共線時,|MA|+|PM|有最小值.由此即可得到|MA|+|MF|取最小值,進而得到相應的點M的坐標.

解答 解:由題意y2=5x得 F($\frac{5}{4}$,0),準線方程為 x=-$\frac{5}{4}$,點A(3,1),P(-$\frac{5}{4}$,1)
設點M到準線的距離為d=|PM|,
則由拋物線的定義得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|,
故當P、A、M三點共線時,|MF|+|MA|取得最小值為|AP|=3-(-$\frac{5}{4}$)=$\frac{17}{4}$,
再將y=1代入拋物線y2=5x 得 x=$\frac{1}{5}$,故點M的坐標是:($\frac{1}{5}$,1).
故答案為:$\frac{17}{4}$,($\frac{1}{5}$,1)

點評 本題考查拋物線的定義和性質得應用,考查運算求解能力,考查數(shù)形結合思想,解答的關鍵利用是拋物線定義,體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想.

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