Question

15．在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)A到平面A₁BD的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}a$．

Answer 1

分析 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)A到平面A₁BD的距離．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（a，0，0），A₁（a，0，a），B（a，a，0），D（0，0，a），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（a，0，a），$\overrightarrow{DB}$=（a，a，0），$\overrightarrow{DA}$=（a，0，0），
設(shè)平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=ax+az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=ax+ay=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴點(diǎn)A到平面A₁BD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．