Question

20．在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．且2sinB（ccosB+bcosC）=$\sqrt{3}$b
（1）求角A的大小
（2）若a=b，b+c=8，求△ABC的面積
（3）求sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可求sinA，結(jié)合A為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得解；
（2）由已知及三角形內(nèi)角和定理可求B，C的值，進(jìn)而可求a，b，c的值，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．
（3）由三角形的內(nèi)角和定理及A的度數(shù)，表示出B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入原式中利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答 解：（1）∵2sinB（ccosB+bcosC）=$\sqrt{3}$b，
∴利用正弦定理可得：2sinB（sinCcosB+sinBcosC）=$\sqrt{3}$sinB，
又∵sinB≠0，可得：2sin（B+C）=2sinA=$\sqrt{3}$，解得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A為銳角，
∴可得：A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，a=b，b+c=8，
∴B=A=C=$\frac{π}{3}$，可得：a=b=c=4，
∴S_ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×4×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
（3）∵A+B+C=π，A=$\frac{π}{3}$，
∴B+C=$\frac{2π}{3}$，即C=$\frac{2π}{3}$-B，
則sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=sinB+sin$\frac{2π}{3}$cosB-cos$\frac{2π}{3}$sinB=sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B，C為三角形的內(nèi)角，且A=$\frac{π}{3}$，
∴0＜$\frac{2π}{3}$-B＜$\frac{π}{2}$，即 $\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴sinB+sinC的取值范圍是（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．