Question

10．已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+e^-x）+x²，則使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故f（x）＞f（2x-1）等價于|x|＞|2x-1|，解之即可求出使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ln（e^x+e^-x）+x²，
∴f′（x）=$\frac{{e}^{x}{-e}^{-x}}{{{e}^{x}+e}^{-x}}$+2x，
當x=0時，f′（x）=0，f（x）取最小值，
當x＞0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當x＜0時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∵f（x）=ln（e^x+e^-x）+x²是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故不等式f（x）＞f（2x-1）等價于|x|＞|2x-1|，解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1，
故答案為：（$\frac{1}{3}$，1）．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求不地，是中檔題，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．