Question

3．（1）${（{2x+\sqrt{x}}）^5}$的展開式中，求x³的系數(shù)；
（2）已知${（{\sqrt{x}-\frac{a}{{\sqrt{x}}}}）^5}$的展開式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的項(xiàng)的系數(shù)為30，求a的值；
（3）$（{x+\frac{a}{x}}）•{（{2x-\frac{1}{x}}）^5}$的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，求該展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求出r的值，即可求得展開式中x³的系數(shù)．
（2）根據(jù)所給的二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式寫出第r+1項(xiàng)，整理成最簡形式，令x的指數(shù)為$\frac{3}{2}$求得r，再代入系數(shù)求出結(jié)果．
（3）根據(jù)$（{x+\frac{a}{x}}）•{（{2x-\frac{1}{x}}）^5}$的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2求得a=1，再根據(jù)它的展開式的通項(xiàng)公式求得它的常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：（1）${（{2x+\sqrt{x}}）^5}$的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{5}^{r}$•${x}^{5-\frac{1}{2}r}$•2^5-r，
令5-$\frac{1}{2}r$=3，r=4，可得展開式中x³的系數(shù)為10；
（2）根據(jù)所給的二項(xiàng)式寫出展開式的通項(xiàng)，T_r+1=$（-a）^{r}{C}_{5}^{r}{x}^{\frac{5}{2}-r}$
展開式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的項(xiàng)的系數(shù)為30，
∴$\frac{5}{2}$-r=$\frac{3}{2}$，
∴r=1，并且-5a=30，解得a=-6；
（3）∵$（{x+\frac{a}{x}}）•{（{2x-\frac{1}{x}}）^5}$的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為（a+1）（2-1）=2，
∴a=1，
（2x-$\frac{1}{x}$）⁵的通項(xiàng)為T_r+1=${C}_{5}^{r}•（-1）^{r}•{2}^{5-r}•{x}^{5-2r}$，
故常數(shù)項(xiàng)為${-C}_{5}^{3}•4$+${C}_{5}^{2}•8$=40．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．