15.若體積為12的長方體的每個頂點都在球O的球面上,且此長方體的高為4,則球O的表面積的最小值為( 。
A.10πB.22πC.24πD.28π

分析 設長方體的三度為a,b,c,則ab=3,c=4,長方體的對角線的長度,就是外接球的直徑,求出直徑的最小值,即可求出球O表面積的最小值.

解答 解:設長方體的三度為a,b,c,則ab=3,c=4.
長方體的對角線的長度,就是外接球的直徑,所以2r=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}+16}$≥$\sqrt{2ab+16}$=$\sqrt{22}$,
當且僅當a=b時,r的最小值為$\frac{\sqrt{22}}{2}$
所以球O表面積的最小值為:4πr2=22π.
故選:B.

點評 本題是基礎題,考查長方體的外接球的應用,球的表面積的求法,考查計算能力.

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