Question

19．如圖所示，質量為m的滑塊從傾角θ=45°的固定光滑斜面的頂端A由靜止滑下，然后無能量損失地滑上粗糙水平面BC．COD是半徑為R的光滑半圓軌道，其中COD是直徑且與水平面垂直，滑塊經過半圓軌道最高點D時對軌道的壓力大小F_N=3mg（g為重力加速度）．已知水平BC的長度$\overrightarrow{BC}$=4R，滑塊與水平面BC間的動摩擦因數μ=0.6，滑塊可視為質點，空氣阻力不計．
（1）求斜面頂端A到水平面BC的高度h；
（2）請通過計算判斷滑塊能否垂直斜面撞在斜面的底端B；
（3）若改變高度h，使滑塊運動到D點時恰好對軌道無壓力，求滑塊運動到C點時軌道對滑塊的支持力大小F．

Answer 1

分析 （1）先分析滑塊經過D點時的受力情況，由牛頓第二定律求得滑塊經過D點時的速度，再對從開始到D點的整個過程，運用動能定理列式，可求得h．
（2）滑塊離開D點后做平拋運動，根據平拋運動的規(guī)律分析滑塊能否垂直斜面撞在斜面的底端B．
（3）先由牛頓第二定律求得滑塊經過D點時的速度，再C點到D點的過程，由機械能守恒定律求出滑塊經過C點的速度，在C點，由向心力公式求軌道對滑塊的支持力大小F．

解答 解：（1）在D點，由牛頓第二定律得：
mg+F_N=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
由題有：F_N=3mg
解得：v_D=2$\sqrt{gR}$
對從開始到D點的整個過程，運用動能定理得：
mg（h-2R）-μmg$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
結合 $\overrightarrow{BC}$=4R
聯立解得：h=6.4R
（2）滑塊離開D點后做平拋運動，假設能落在B點，則有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v_Dt
解得：x=4R=$\overrightarrow{BC}$，說明假設成立．
滑塊落B點時，速度與水平方向的夾角為：
tanα=$\frac{gt}{{v}_{D}}$=$\frac{g•\sqrt{\frac{4R}{g}}}{2\sqrt{gR}}$=1，則 α=45°
根據幾何關系知，滑塊能垂直斜面撞在斜面的底端B．
（3）設滑塊運動到D點時恰好對軌道無壓力時速度為v_D′，則有：
mg=m$\frac{{v}_{D}^{′2}}{R}$
從C到D，由機械能守恒定律有：
2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{′2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C點，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯立解得：F=6mg
答：（1）斜面頂端A到水平面BC的高度h是6.4R；
（2）滑塊能垂直斜面撞在斜面的底端B；
（3）滑塊運動到C點時軌道對滑塊的支持力大小F是6mg．

點評 分析清楚滑塊的運動過程，把握每個過程和狀態(tài)的物理規(guī)律是關鍵，要明確向心力的來源，運用動能定理時要注意選擇研究的過程．