Question

3．如圖所示，通過(guò)一個(gè)定滑輪用輕繩兩端各栓接質(zhì)量均為m的物體A、B（視為質(zhì)點(diǎn)），其中連接物體A的輕繩水平（繩足夠長(zhǎng)），物體A的下邊放一個(gè)足夠長(zhǎng)的水平傳送帶，其順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度恒定為v，物體A與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25；現(xiàn)將物體A以2v₀速度從左端MN的標(biāo)志線沖上傳送帶，重力加速度為g．試回答：

（1）若傳送帶的速度v=v₀時(shí)，物體A運(yùn)動(dòng)到距左端MN標(biāo)志線的最遠(yuǎn)距離？
（2）若傳送帶的速度�。�0＜v＜2v₀）范圍某一確定值時(shí)，可使物體A運(yùn)動(dòng)到距左端MN標(biāo)志線的距離最遠(yuǎn)時(shí)，與傳送帶因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能最小，求：此時(shí)傳送帶的速度v=？；摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）若傳送帶的速度v=v₀時(shí)，物體A的速度大于傳送帶的速度，受到的摩擦力的方向向左，同時(shí)受到向左的拉力，對(duì)A和B，分別運(yùn)用牛頓第二定律列式，即可求出加速度．加速度a₁向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，直到速度減為v，接著以加速度a₂向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，直到速度減為0，最后又向左做加速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解即可；B的位移大小與A的位移大小相等．
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到物體A與傳送帶相對(duì)位移的大小與v的關(guān)系，從而得到摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能與v的關(guān)系式，由數(shù)學(xué)知識(shí)求解內(nèi)能最小時(shí)v的值，并求內(nèi)能的最小值．

解答 解：（1）若傳送帶的速度v=v₀時(shí)，設(shè)物體A向右減速到v₀時(shí)的加速度為a₁，由牛頓第二定律
對(duì)物體A有：T+μmg=ma₁； 
 對(duì)物體B有：mg-T=ma₁
解得加速度的大小：a₁=$\frac{5}{8}$g  
物體A向右減速到v₀時(shí)的位移為x₁，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：
   v₀²-（2v₀）²=-2a₁x₁；     
得：x₁=$\frac{12{v}_{0}^{2}}{5g}$
當(dāng)物體的速度小于v₀時(shí)，物體A受的摩擦力向右，設(shè)加速度為a₂，由牛頓定律得：
對(duì)物體A、B整體，加速度的大小：mg-μmg=2ma₂；
解得加速度的大小：a₂=$\frac{3}{8}$g
物體A向右由v₀減速到零時(shí)的位移為x₂，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：
0-v₀²=-2a₂x₂；
得：x₂=$\frac{4{v}_{0}^{2}}{3g}$
物體A運(yùn)動(dòng)到距左端MN標(biāo)志線的最遠(yuǎn)距離為：x=x₁+x₂=$\frac{56{v}_{0}^{2}}{15g}$
（2）物體A向右減速到v時(shí)的時(shí)間為：t=$\frac{v-2{v}_{0}}{-{a}_{1}}$
物體A向右減速到v₀時(shí)相對(duì)傳送帶向前的位移為△x₁，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：
△x₁=$\frac{（2{v}_{0}）^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{1}}$-vt=$\frac{4（{v}^{2}-4{v}_{0}v+4{v}_{0}^{2}）}{5g}$
物體A向右由v減速到零時(shí)，相對(duì)傳送帶向后的位移為△x₂，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：
△x₂=v（$\frac{v-0}{{a}_{2}}$）-$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{4{v}^{2}}{3g}$
物體A與傳送帶因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能為：
  Q=μmg（△x₁+△x₂）=$\frac{4}{15}m（2{v}^{2}-3{v}_{0}v+3{v}_{0}^{2}）$    
對(duì)二次函數(shù)求極值得：當(dāng)v=$\frac{3}{4}{v}_{0}$時(shí)，產(chǎn)生的內(nèi)能最小為：${Q_{min}}=\frac{3}{20}mv_0^2$
答：（1）若傳送帶的速度v=v₀時(shí)，物體A運(yùn)動(dòng)到距左端MN標(biāo)志線的最遠(yuǎn)距離是$\frac{56{v}_{0}^{2}}{15g}$．
（2）當(dāng)v=$\frac{3}{4}{v}_{0}$時(shí)，產(chǎn)生的內(nèi)能最小，為$\frac{3}{20}m{v}_{0}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要分析清楚物體在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，特別注意摩擦力方向的改變，運(yùn)用函數(shù)法求內(nèi)能的最小值是常用的方法，要能熟練運(yùn)用．