Question

8．如圖所示，半徑分別為a和2a的同心圓形導軌上有一長為a的金屬棒AB，繞圓心O勻速轉動，AB延長線通過圓心，圓環(huán)內分布有垂直于紙面向外的勻強磁場．通過電刷把兩圓環(huán)與兩豎直平行金屬板P、Q連接與如圖所示的電路，R₁、R₂是定值電阻．帶正電的小球通過絕緣細線掛在兩板間M點，被拉起到水平位置；合上開關K，無初速度釋放小球，小球沿圓弧經過M點正下方的N點的另一側．
已知：磁感應強度為B；棒的角速度大小為ω，電阻為r：R₁=R₂=2r，圓環(huán)電阻不計：P、Q兩板間距為d：帶電小球的質量為m、電量為q；重力加速度為g．求：
（1）棒勻速轉動的方向：
（2）P、Q間電場強度E的大��；
（3）小球通過N點時對細線拉力F_T的大��；
（4）假設釋放后細線始終沒有松弛，求最大偏角θ．

Answer 1

分析 （1）根據小球擺動的高度確定極板的極性，根據右手定則判斷導體棒轉動方向；
（2）根據法拉第電磁感應定律可得電動勢，根據閉合電路的歐姆定律PQ的電壓，再根據電場強度計算公式求解電場強度；
（3）設細繩長度為L，小球到達N點時的速度為v，根據動能定理和牛頓第二定律求解小球通過N點時對細線拉力F_T的大小；
（4）設動能最大的位置偏角為β，根據幾何關系求解最大偏角．

解答 解：（1）根據題意可得：小球從水平位置釋放后，能沿圓弧向下擺動，故小球受到電場力方向水平向右，P板帶正電、Q板帶負電，根據右手定則可知，導體棒逆時針轉動；
（2）導體棒轉動切割磁感應線，根據法拉第電磁感應定律可得電動勢E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{3Bω{a}^{2}}{2}$，
根據閉合電路的歐姆定律可得：I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}+r}$，
則PQ的電壓為：U=IR₂，
故PQ間的電場強度大小為：E_場強=$\frac{U}ywqyroi$，
聯立解得：E_場強=$\frac{3Bω{a}^{2}}{5d}$；
（3）設細繩長度為L，小球到達N點時的速度為v，根據動能定理可得：
mgL-qE_電場L=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
由于F_T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，
解得：F_T=3mg-$\frac{6qBω{a}^{2}}{5d}$；
（4）設動能最大的位置偏角為β，則tanβ=$\frac{mg}{q{E}_{電場}}$，
所以θ=2β=2arctan$\frac{mg}{q{E}_{電場}}$=2arctan$\frac{5mgd}{3qBω{a}^{2}}$．
答：（1）棒勻速轉動的方向為逆時針：
（2）P、Q間電場強度E的大小為$\frac{3Bω{a}^{2}}{5d}$；
（3）小球通過N點時對細線拉力F_T的大小為3mg-$\frac{6qBω{a}^{2}}{5d}$；
（4）假設釋放后細線始終沒有松弛，最大偏角為2arctan$\frac{5mgd}{3qBω{a}^{2}}$．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，根據牛頓第二定律或平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應現象中的能量轉化問題，根據動能定理、功能關系等列方程求解．