Question

圖（甲）所示，一對(duì)金屬板M和N平行、豎直放置，M、N的中心分別有小孔P、Q，PQ連線(xiàn)垂直金屬板．N板右側(cè)有一半徑為r的圓形有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其圓心O在PQ的延長(zhǎng)線(xiàn)上，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．置于P孔附近的粒子源連續(xù)不斷地沿PQ方向放射出質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子（帶電粒子所受的重力、初速度及粒子間的相互作用力可忽略），從某一時(shí)刻開(kāi)始，在板M、N間加上如圖（乙）所示的交變電壓，其周期為T(mén)、電壓為U，t=0時(shí)M板電勢(shì)高于N板電勢(shì)．已知帶電粒子在M、N兩板間一直做加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間小于T/2，并且只有在每一個(gè)周期的前T/4時(shí)間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，求：
（1）帶電粒子從小孔Q中射出的最大速度；
（2）M、N兩板間的距離；
（3）在沿圓形磁場(chǎng)的邊界上，有帶電粒子射出的最大弧長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）只有在M、N間電場(chǎng)中一直加速的粒子從Q孔射出時(shí)的速度才最大，加速電壓為U，根據(jù)動(dòng)能定理求解最大速度；
（2）由于電壓是周期性變化的，由題：只有在每一個(gè)周期的前T時(shí)間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，所以每一個(gè)周期的第一個(gè)時(shí)刻放出的帶電粒子剛好能從小孔Q中射出，加速和減速分別經(jīng)歷了T時(shí)間，到達(dá)Q孔的速度恰好為零．根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解M、N兩板間的距離；
（3）由題意：每一個(gè)周期的前時(shí)間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，其中射出最早的粒子速度最大，越晚射出的粒子速度越�。�粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，其中速度越小的粒子運(yùn)動(dòng)半徑越小，射出點(diǎn)離射入點(diǎn)越近，偏轉(zhuǎn)角度越大（越接近π）．最早射入者速度最大，運(yùn)動(dòng)半徑最大，偏轉(zhuǎn)角度最小，射出點(diǎn)與入射點(diǎn)所夾弧長(zhǎng)最大．根據(jù)牛頓第二定律和幾何知識(shí)結(jié)合求出以最大速度射入時(shí)在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角為θ，再求最大弧長(zhǎng)．
解答：解：（1）在M、N電場(chǎng)間處于一直加速的粒子從小孔Q中射出的速度最大，設(shè)從最大速度為v_m
根據(jù)動(dòng)能定理得 qU=m
解得：v_m=  
（2）設(shè)M、N兩板間距離為d，則兩板間的電場(chǎng)強(qiáng)度大小 E=，
設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律得 qE=ma
解得：a=
每一個(gè)周期的第一個(gè)時(shí)刻放出的帶電粒子剛好能從小孔Q中射出，它加速和減速各經(jīng)歷，
由d=
解得：d=
（3）每一個(gè)周期的前時(shí)間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，其中射出最早的粒子速度最大，越晚射出的粒子速度越�。�粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，其中速度越小者運(yùn)動(dòng)半徑越小，射出點(diǎn)離射入點(diǎn)越近，偏轉(zhuǎn)角度越大（越接近π）．最早射入者速度最大，運(yùn)動(dòng)半徑最大，偏轉(zhuǎn)角度最小，射出點(diǎn)與入射點(diǎn)所夾弧長(zhǎng)最大．
設(shè)帶電粒子以最大速度射入時(shí)在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為R，偏轉(zhuǎn)角為θ，由牛頓第二定律和幾何關(guān)系得
 Bqv=m
 tan=
解得：θ=2arctanBr
設(shè)沿圓形磁場(chǎng)邊界上有帶電粒子射出的最大弧長(zhǎng)為s（圖中實(shí)線(xiàn)部分），根據(jù)弧長(zhǎng)公式
s=r（π-θ）=r（π-2arctanBr）
答：
（1）帶電粒子從小孔Q中射出的最大速度為；
（2）M、N兩板間的距離為；
（3）在沿圓形磁場(chǎng)的邊界上，有帶電粒子射出的最大弧長(zhǎng)為r（π-2arctanBr）．
點(diǎn)評(píng)：本題在正確分析粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程的基礎(chǔ)上，應(yīng)用動(dòng)能定理、類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)、牛頓運(yùn)動(dòng)定律即可正確解題；本題難度較大，是一道難題．