Question

14．如圖所示，虛線MO與水平線PQ相交于O點，二者夾角θ=30°，在MO右側存在電場強度為E，方向豎直向上的勻強電場，MO左側某個區(qū)域存在磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，O點在磁場的邊界上．現(xiàn)有一群質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子在紙內(nèi)以速度v（$0≤v≤\frac{E}{B}$）垂直于MO從O點射入磁場，所有粒子通過直線MO時，速度方向均平行于PQ向右，不計粒子的重力和粒子間的相互作用力，求：
（1）速度最大的粒子距PQ的最大距離；
（2）速度最大的粒子自O開始射入磁場至返回水平線PQ所用的時間；
（3）磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，運用洛倫茲力提供向心力與臨界幾何結合即可求解速度最大的粒子距PQ的最大距離；
（2）畫出粒子運動軌跡的示意圖，分過程分別求解粒子在磁場中運動的時間t₁，粒子出磁場做勻速運動的時間t₂，以及粒子在電場中做類平拋運動的時間t₃，將三段時間加和即可；
（3）畫出各種速度入射粒子的軌跡過程圖，運用幾何思維分析磁場區(qū)域的最小面積．

解答 解：（1）粒子的運動軌跡如圖所示，設粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑為R，周期為T，粒子在勻強磁場中運動時間為t₁

根據(jù)題意粒子速度：v=$\frac{E}{B}$ ①
洛倫茲力提供向心力得：$qvB=m\frac{v^2}{R}$ ②
幾何關系可得：x_max=R（1+sinθ） ③
聯(lián)立①②③式得：x_max=$\frac{3mE}{{2q{B^2}}}$
（2）根據(jù)周期公式可得：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$ ④
粒子在磁場中運動的時間：t₁=$\frac{1}{3}$T ⑤
設粒子自N點水平飛出磁場，出磁場后應做勻速運動至OM，設勻速運動的距離為s，勻速運動的時間為t₂，
由幾何關系知：s=$\frac{R}{tanθ}$ ⑥
t₂=$\frac{s}{v}$ ⑦
過MO后粒子做類平拋運動，設運動的時間為t₃，則：$\frac{3}{2}$R=$\frac{1}{2}$$\frac{Eq}{m}{t}_{3}^{2}$  ⑧
則速度最大的粒子自O進入磁場至重回水平線POQ所用的時間：t=t₁+t₂+t₃ ⑨
聯(lián)立①②④⑤⑥⑦⑧⑨式得：t=$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3qB}$
（3）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過OM，則其飛出磁場的位置均應在ON的連線上，
故磁場范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場中的軌跡與ON所圍成的面積．

扇形OO′N的面積S=$\frac{1}{3}π{R}^{2}$
△OO′N的面積為：S′=R²cos30°sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R²
又△S=S-S′
解得：△S=$（\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）\frac{{{m}^{2}E}^{2}}{{q}^{2}{B}^{4}}$
答：（1）速度最大的粒子距PQ的最大距離為$\frac{3mE}{{2q{B^2}}}$；
（2）速度最大的粒子自O開始射入磁場至返回水平線PQ所用的時間為$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3qB}$；
（3）磁場區(qū)域的最小面積為$（\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）\frac{{{m}^{2}E}^{2}}{{q}^{2}{B}^{4}}$．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中的勻速圓周運動以及在偏轉(zhuǎn)電場中的類平拋運動，在磁場中運用洛倫茲力提供向心力與幾何關系聯(lián)立去解決，電場中的類平拋運動運用運動的合成和分解與牛頓定律以及運動學規(guī)律結合的思路去解決；解題的關鍵是要畫出粒子運動的過程圖．