題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)已知點(diǎn),直線:,點(diǎn)是直線上的一點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足.
⑴求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
⑵動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中是否經(jīng)過圓?請(qǐng)說(shuō)明理由.
已知點(diǎn),、、是平面直角坐標(biāo)系上的三點(diǎn),且、、成等差數(shù)列,公差為,.
(1)若坐標(biāo)為,,點(diǎn)在直線上時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)已知圓的方程是,過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn),
是圓上另外一點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若、、都在拋物線上,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求證:線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為一定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn),是圓:的兩條切線,為切點(diǎn),若四邊形的最小面積是2,則的值為( ▲ )
A.4 B. C.2 D.
已知點(diǎn),、、是平面直角坐標(biāo)系上的三點(diǎn),且、、成等差數(shù)列,公差為,.
(1)若坐標(biāo)為,,點(diǎn)在直線上時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)已知圓的方程是,過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn),
是圓上另外一點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若、、都在拋物線上,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求證:線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為一定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
已知點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿足.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)在直線:上取一點(diǎn),過點(diǎn)作軌跡的兩條切線,切點(diǎn)分別為.問:是否存在點(diǎn),使得直線//?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
說(shuō)明:1.參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與參考答案不同,可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù).
2.對(duì)解答題中的計(jì)算題,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí),如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的得分,但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半;如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤,就不再給分.
3.解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).
4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù),選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題:本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.共8小題,每小題5分,滿分40分.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
C
B
A
D
D
二、填空題:本大題共7小題,每小題5分,滿分30分.其中13~15題是選做題,考生只能選做二題,三題全答的,只計(jì)算前二題得分.第12題第1個(gè)空3分,第2個(gè)空2分.
9.2 10.79 11.0 或 2 12.16,
13.1 14.3 15.6
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說(shuō)明、證明過程和演算步驟.
16.(本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及運(yùn)算求解能力)
解:(1)
.
∵,
∴函數(shù)的值域?yàn)?sub>.
(2)∵,,∴,.
∵都為銳角,∴,.
∴
.
∴的值為.
17.(本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的表面積與體積等基本知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力)
解:(1)設(shè),∵幾何體的體積為,
∴,
即,
即,解得.
∴的長(zhǎng)為4.
(2)在線段上存在點(diǎn),使直線與垂直.
以下給出兩種證明方法:
方法1:過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),過點(diǎn)作
交于點(diǎn).
∵,,,
∴平面.
∵平面,∴.
∵,∴平面.
∵平面,∴.
在矩形中,∵∽,
∴,即,∴.
∵∽,∴,即,∴.
在中,∵,∴.
由余弦定理,得
.
∴在線段上存在點(diǎn),使直線與垂直,且線段的長(zhǎng)為.
方法2:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在的直線為軸,軸,軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,由已知條件與(1)可知,,,,
假設(shè)在線段上存在點(diǎn)≤≤2,,0≤≤
由∽,得,
∴.
∴.
∴,.
∵,∴,
即,∴.
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為,在線段上.
∵,∴.
∴在線段上存在點(diǎn),使直線與垂直,且線段的長(zhǎng)為.
18.(本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力)
解:設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,
若,,成等差數(shù)列,
則.
∴.
∵,,∴.
解得或.
當(dāng)時(shí),∵,,,
∴.
∴當(dāng)時(shí),,,不成等差數(shù)列.
當(dāng)時(shí),,,成等差數(shù)列.下面給出兩種證明方法.
證法1:∵
,
∴.
∴當(dāng)時(shí),,,成等差數(shù)列.
證法2:∵,
又
,
∴.
∴當(dāng)時(shí),,,成等差數(shù)列.
19.(本小題主要考查等可能事件、互斥事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力)
解:(1)∵一次摸球從個(gè)球中任選兩個(gè),有種選法,
任何一個(gè)球被選出都是等可能的,其中兩球顏色相同有種選法,
∴一次摸球中獎(jiǎng)的概率.
(2)若,則一次摸球中獎(jiǎng)的概率,
三次摸球是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率是
.
(3)設(shè)一次摸球中獎(jiǎng)的概率為,則三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率為,,
∵,
∴在上為增函數(shù),在上為減函數(shù).
∴當(dāng)時(shí),取得最大值.
∵≥,
解得.
故當(dāng)時(shí),三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大.
20.(本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力)
(1)解法1:∵,其定義域?yàn)?sub>,
∴.
∵是函數(shù)的極值點(diǎn),∴,即.
∵,∴.
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí),是函數(shù)的極值點(diǎn),
∴.
解法2:∵,其定義域?yàn)?sub>,
∴.
令,即,整理,得.
∵,
∴的兩個(gè)實(shí)根(舍去),,
當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表:
―
0
+
極小值
依題意,,即,
∵,∴.
(2)解:對(duì)任意的都有≥成立等價(jià)于對(duì)任意的都有≥.
當(dāng)[1,]時(shí),
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